用“折纸”求解三维网格：从可折的纸，到高保真模型

AI 三维生成交出来的几乎都是三角网格。折纸其实也在做同一件事：一张纸沿折痕折起、在顶点处被顶出来，纸面变成许多平面或曲面片，拼成一个立体。区别在于，折纸的每一片都来自同一张正方形，不能拉伸，也不能剪开。

这次实验想回答两个问题：

1. **能不能把"生成网格"换成"求解折法"？**给一张图，程序决定用几张多大的纸、每张怎么折，最后得到一个由真实可折的纸面拼成的模型。
2. 如果去掉折纸约束，同一套几何思路能不能直接生成高保真、面数最省的三维模型？

两个答案都做成了同一个网页里的两种模式。

• 在线演示：https://study.geobridge.cn/3d-rendering/origami-mesh/
• 全部计算在浏览器里完成（TypeScript）。三维视图用 WebGPU（vgpu）绘制，折纸说明书用 SVG；单目深度模型用 onnxruntime-web 在浏览器里运行。

一、纸是一种"带约束的网格"

把折好的纸看成网格，它比普通网格多一条硬约束：展开后必须是一张平的正方形。纸是可展曲面，处处高斯曲率为零。落到离散网格上就是：纸面内部任何一个顶点，周围各面的角加起来恰好是 2π。

而一个立体的顶点周围，各面的角和小于 2π，差值

δ = 2π − Σ αᵢ

叫做角亏，也就是离散的高斯曲率（对封闭多面体，所有角亏之和恒等于 4π）。纸不能拉伸，这部分纸只能折起来藏掉：在两个面之间夹一道三角褶，对折后压在内侧。Tachi 的 Origamizer 正是靠这一点证明了：任意多面体都能由一张不剪开的纸折出来。

这条约束贯穿全文：网格上每一处弯曲都要付出角亏，这个代价要么藏进褶里，要么交给可展曲面去消化。

二、整体流程

图片 ─► 分割主体 ─► 拆成部件 ─► 泊松充气得到三维目标 ─► 每个部件选一种可展构造
     （可选：单目深度）                                     │
       WebGPU 模型 + 折纸说明书 ◄── 多张纸联合优化 ◄─────────┘
                    └────► 或：去掉折纸约束，生成高保真网格

三、从图片到部件

分割用的是简化版 GrabCut。图片边缘的颜色在 Lab 空间聚类作为背景色；物体色用远离背景的像素聚类得到。每个像素按"离背景色多远 − 离物体色多远"打分，平滑后取正值。用户框选时，程序会把框内区域按原始分辨率重新采样后再分割。

拆部件分两步：

• 按颜色拆：一张纸一种颜色，所以颜色天然就是部件边界。聚类时把亮度差的权重降低，避免阴影把一块纸劈成两块。
• 按粗细拆：做形态学开运算，半径取最大内切圆半径的约 0.42 倍。活下来的是身体、头这类"粗块"，被削掉的是腿、尾巴、耳朵这类"细肢"。遇到细脖子时逐步加大半径，直到腐蚀结果裂成两块、且每块都明显比半径粗。

部件之间按接触边界长度建一棵最大生成树。细肢沿中心线测横向宽度剖面，按剖面形状分类：中间鼓的是叶或花瓣，末端扩开的是鳍，短而朝上的是耳朵，其余是管。

四、平面折痕模块

第一版只用平面折痕，四个模块都是"一张正方形、不剪纸、展开恰好铺满"：褶锥、卷管、风琴叶、masu 方盒。

以褶锥为例。目标 n 棱锥各棱的方向是 dᵢ，相邻两棱的面角 αᵢ = arccos(dᵢ·dᵢ₊₁)，角亏均分成 n 道褶，每道 g = δ/n。褶对折后要压在相邻面上，这要求 g/2 ≤ α，由此可以推出半锥角大约不能小于 22°：锥太尖，纸面就藏不下褶。

折叠过程用正向运动学计算：模块给出每个面最终的刚体位姿，相邻两面的相对变换必须恰好是绕它们共享折痕的一次旋转，由此反推每道折痕的转角和山谷方向，再按折叠程度插值。所有模块的闭合误差都在 10⁻⁸ cm 量级。

这一版的问题很直观：多面体看起来就是多面体，身体是尖顶棱锥，花瓣是直边纸片。

五、可展弯曲：让纸弯起来

纸不只能折，还能弯，只要弯成可展曲面。

**广义锥。**以纸上某点为顶点取极坐标 (r, θ)，只要 g(θ) 是单位球面上的单位速度曲线，映射

(r, θ) ↦ r · g(θ)

就是严格的等距变换：∂/∂r 是单位向量，∂/∂θ 的长度恰好是 r，两者互相垂直。纸弯成什么形状，完全由 g 的测地曲率 k(θ) 决定：

• k = 0：纸保持平整；
• k > 0：纸向内收拢成杯形；
• k < 0：纸边向外卷；
• 切向在某处突变：纸上出现一道沿母线的直折痕（叶脉）。

把 k 乘以 0→1 的系数就得到折叠动画，而且每一帧都严格等距。平面模块的闭环折法做不到这一点。

玫瑰。花心是一张纸从一角卷成逐渐收紧的螺旋锥（k = cot ψ，ψ 逐渐变小）。每片花瓣是一个虚拟顶点在纸下方的锥面上的一段，锥顶都落在花头下方的轴线上，于是各层花瓣成为同轴的圆锥，内层紧、外层开，组成碗形。

**曲线折痕：镜面反射。**花瓣上缘外翻需要一道曲线折痕。这里用了一个严格又简单的构造：用平面 Π 切开花瓣曲面，把 Π 以外的部分沿 Π 镜像。反射是等距变换，并且固定 Π 上的点，所以折完仍是同一张纸。折痕就是曲面与 Π 的交线，在纸上是一条真正的曲线。瓣缘想朝向 w 时，Π 的法向取

n = (u − w) / |u − w|      （u 为花瓣中线方向）

**压折：两次反射等于一次旋转。**尾巴、腿、仙人掌手臂都是卷成的锥管，要沿中心线弯折。两张镜面 Π₁、Π₂ 交于弯折内侧的一条直线 L：管子越过 Π₂ 的部分做两次反射 R₁∘R₂，合起来就是绕 L 的旋转；夹在两面之间的楔形纸只做一次反射，翻进管内藏起来。这和真实折纸里"内翻压折"的做法一致。

**瓣壳。**身体和头由 6–8 条长条围着主轴拼成，像西瓜瓣或纸灯笼。每条是沿一条经线弯曲的广义柱面 c(s) + u·e（c 为单位速度的平面曲线，e 垂直于 c 所在平面），同样严格等距。

六、三维目标：泊松充气

只拟合正面轮廓，求解器无从知道身体有多厚。所以先为每个部件求一个三维目标：在部件剪影内解泊松方程

Δu = −1，边界上 u = 0；厚度 h = √(2u)

对等宽的管，横截面上 u = (R² − r²)/2，于是 h 恰好给出圆截面；对团块，得到圆润的穹顶。沿部件主轴切片，就得到每一片的左右半宽和厚度。瓣壳的经线直接取自这些切片，压折锥管沿着中心线走，弯折处放置压折。

七、多张纸联合优化

各部件分别构造完，还要让它们彼此接得上。每个部件加一个小幅调整：平移、离开图像平面的倾斜和缩放。调整沿部件树向下传递，所以移动头部时耳朵会跟着走。能量函数为：

E = 6·(1 − 正面轮廓 IoU) + Σ 部件越出自身区域的比例 + 3·Σ 被遮挡比例（z 缓冲）
  + Σ 根部离父部件表面的距离（Huber；嵌入父部件体内记为 0）
  + 5·Σ 肢体穿进父部件体积的比例 + 小正则项

每张纸只采样一次成点集，每次评估只做矩阵运算，用 (1+1)-ES 和 1/5 成功率规则搜索约 360 步，浏览器里约 0.3–0.6 秒。如果优化后轮廓反而变差，就保留原来的构造结果。

优化后，猫的轮廓吻合度从 72% 升到 80%，小鸟从 67% 升到 80%，鱼从 69% 升到 77%，肢体根部间隙平均缩小一半。

八、去掉折纸约束：高保真网格模式

同一套"形状目标"如果不再要求能用纸折出来，可以直接走一条标准的三维重建流程，目标是形状最准、面数最少：

1. **隐式场。**每个部件写成一个"厚片"：F = max(到轮廓的有向距离, |z − z_c| − h)，各部件用多项式平滑最小值融合，接合处平滑过渡。
2. **等值面。**用 Surface Nets 提取，得到封闭网格，不需要查找表。
3. **平滑。**Taubin λ|μ 平滑，去掉体素台阶，同时不让模型收缩。
4. **简化。**QEM 边折叠（Garland–Heckbert）：每个顶点累积其所在面平面的二次误差，代价最小的边先折叠，偏差到达上限就停。所以面数不是指定的，而是由形状决定：平坦处合并成大三角形，弯曲处保留细节。简化后实测 Hausdorff 距离，超出上限两倍就收紧阈值重做。
5. **着色。**把照片颜色投影到每个面上，导出带顶点色的 OBJ。

示例（高 20 cm，允许偏差 0.6%）	等值面	简化后	最大偏差
猫	30,072 面	3,726 面（12%）	0.034 cm
小鸟	37,096 面	4,432 面	0.038 cm
仙人掌	24,540 面	2,980 面	0.035 cm
蘑菇	35,588 面	2,394 面（7%）	0.024 cm

九、单目深度

剪影和充气只能给出"前后对称"的厚度，看不出谁在前、谁在后，也没有表面起伏。这一步接入 Depth Anything V2 Small（Apache-2.0），用 onnxruntime-web 在浏览器里推理。模型和运行时都放在本站服务器上，WebGPU 下用 4 bit 权重版本（19 MB，与半精度版本的相关系数为 0.998），推理约 3 秒。

模型输出的是只在仿射意义下成立的视差（尺度和平移都未知）。在物体范围内用 5%–95% 分位数把它归一化为 D，再规定深度范围 λ = 物体宽度的一半，然后：

• 折纸模式：部件的前后偏移 z_p = λ·(部件深度中位数 − 物体深度中位数)。
• 网格模式：厚片的中面跟随平滑后的深度弯曲；深度的高频部分作为正面起伏，在轮廓处逐渐减为零，并且不超过深度范围的 6%。

在真实照片上，深度让模型有了前后层次和面部起伏。但如果框选或分割时混进了背景，深度会把错误一起放大。

十、回到最初的问题

**折纸式求解能不能生成高保真的三维模型？**从几何上说可以。Origamizer 定理保证任意网格都可折；可展曲面加上折痕可以把任意光滑曲面逼近到任意精度，代价由高斯曲率决定：越弯的地方，褶或分片就越密。本文的瓣壳、压折和曲线折痕，就是这条路上几种具体、可手折的构造。

但生成三维模型真正难的地方不在折法，而在推断形状：背面长什么样、被挡住的部分是什么、表面有哪些细节。这部分要靠学习得到的形状先验，比如本文接入的单目深度，或者更强的图生 3D 模型。折纸约束本身不提供信息，它的价值在别处：

• 干净、紧凑、可编辑的表示：几十片参数化曲面，而不是几十万个杂乱的三角形。
• 天然可制造：纸艺、钣金、布料版型都是"可展片加折痕"。
• 强正则：等距约束会抑制噪声和破面。

去掉约束的网格模式说明，同一个形状目标加上误差有界的简化，就能用几千个三角形得到稳定、紧凑的模型。

下一步有三件事：把单张图的深度换成多视角或图生 3D 的完整三维目标；把分片可展拟合做成可微优化，直接以三维 Chamfer 距离为目标；为常见品类补充更多高保真模板。